図形と方程式　問題①

1 辺の長さが 1 の正四面体 OABC において，△ABC の重心を G，線分 BC を 1 : 3 に内 分する点を D とする．また，直線 AB 上にあり， −→ GD ⊥ −→ GE を満たす点を E とする．こ のとき，−→ b = −→ AB， −→ c = −→ AC として，次の各問に答えよ． (1) −→ AG を −→ b ， −→ c を用いて表せ． (2) −→ GD， −→ GE のそれぞれを，−→ b ， −→ c を用いて表せ．また，| −→ GD|，| −→ GE| の値をそれぞ れ求めよ． (3) −−→ OG · −→ b と −−→ OG · −→ c をそれぞれ求めよ． (4) P を平面 ABC 上の点とする．また，点 P は，直線 GD で平面 ABC を 2 つに分け たときに，点 E と同じ側にあるとする．△DGP の面積が 1 のとき，−→ OP · −→ GE の値 を求めよ． [’24 宮崎大]